Prova da OBMEP 2010

Sábado fiz a segunda fase da OBMEP. Não sei se fui bem. Mas acho que fui. Pelo menos só tem um item que eu tenho certeza de ter feito errado. O resto tem muita chance de estar correto. Mas isso eu vou ver quando sair o gabarito da prova. Alguns, devo ter conseguido só metade da nota.

Mas muita gente comentou que a prova estava muito fácil, e isso tira minhas chances de ficar bem colocado. Eu achei uma prova justa para o meu nível (leia-se 'minha capacidade'). Fiquei as três horas de prova fazendo. Talvez, se tivesse mais cinco minutos, conseguiria ter feito mais. Tive que pensar bastante, mas não tinha nada muito impossível para mim.

Vou colocar abaixo um resumo das questões. É claro que a minha memória pode ter se enganado em alguma coisa, nem sei como consegui lembrar de todos os itens! Anotei-os todos sábado à noite, já para não esquecer, e fiquei impressionado que lembrara de todos! Mas estou postando somente hoje porque, apesar de a OBMEP não nos pedir sigilo oficialmente (como a OBM), é sempre bom deixar passar um tempo. E, como hoje já está podendo comentar na comunidade, me vejo no direito de comentar aqui também (a coordenação da OBMEP pediu sigilo para eles só até 12/09).

Mais uma coisa: os exercícios abaixo não estão detalhadamente explicados, então, você provavelmente só os entenderá se tiver feito a segunda fase da OBMEP 2010 pelo nível 3. Se não fez, poderá ver a prova no site da OBMEP a partir da semana que vem, eu acho.
Algumas descrições, mesmo quem fez a prova corre o risco de não entender, mas poderá acompanhar com facilidade quando a prova for publicada.

Fiquei em dúvida se postaria tudo assim, num post gigante, ou se depois que eles publicassem a prova eu refaria e colocaria aqui. Ainda não sei se vou fazer isso, talvez. E é por isso também que eu deixei algumas questões muito detalhadas e outras eu só falei por cima.

E quero ressaltar, porque é bom, que, aconteça o que acontecer, não julgarei (e você também não, espero) a correção da OBMEP e a minha colocação. Eles sabem muito bem o que fazem, e eu posso ter cometido equívocos ao explicar meus métodos de resolução.
É bom deixar claro também que, por mais que eu expresse a minha opinião sobre os problemas no decorrer do texto, jamais quis criticar o Comitê de Provas. Eles são experientes e (novamente) sabem o que fazem, o meu olhar é de mero "espectador", pode-se dizer.

Ah, sim, não caiu problemas com circunferência, escalonamento, divisão de polinômios, trigonometria, logaritmo e nem função exponencial. (Veja este post)



Agora sim, finalmente, ao resumo da prova segundo a minha cabeça, e acho que esse post bate o record como o maior de todos:

A primeira questão eu achei até meio boba, de tão fácil. Achei até que justifiquei o que era muito óbvio, o que nem precisava. Espero que não tenha problema.
Ela tratava de uma calculadora que tinha os dez dígitos dos algarismos e mais duas teclas com as operações A e B, onde A elevava o número ao quadrado e B somava três ao número.
O “meio bobo, de tão fácil” da primeira linha deste parágrafo se refere ao primeiro item desta questão. Ele dava número e uma sequência de teclas A e B, e pedia o resultado. Se eu não me engano, o número era 3, e a sequência era BBAB. Super fácil! Só fazer conta... Mas acho que mesmo nesse eu achei alguma coisa para justificar, escrevi texto em tudo.
O item (b) pedia para sair do 2 e chegar ao 56 (acho que eram esses os números), que eu resolvi sugerindo apertar 18 vezes a tecla B. Sem mistério. Mentira! No começo, eu pensei: “não deve ser tão fácil assim!” e comecei a escrever “Observe que um número nunca fica menor ao fazermos uma das operações.” Por que eu escrevi isso? Precisava? E continuei: “√56 < √64 = 8 => √56 <> 5 –B-> 25. Parava quando o número dava maior ou igual a 8, indicando que, a partir daquele momento, não poderíamos mais eleva-los ao quadrado. Como nenhum número das quatro possibilidades tinha uma diferença múltipla de 3 com 54, conclui o que se pedia.

A segunda questão era de um quadrado dividido em 9 casas, cada uma com um algarismo diferente. O problema baseava-se nas somas dos números de cada fileira e de cada coluna.
Em um dos itens, pedia-se para mostrar que as somas obtidas não podiam ser todas pares. Eu fiz isso dizendo que a soma dos números de 1 a 9 é 45, e que a soma de números pares é sempre par, portanto, não pode ser 45. Disso, pelo menos um dos números deve ser ímpar.
O último item pedia para completarmos um desses quadrados com a soma dada. Nesse sofri um pouco. Escrevi umas coisas para facilitar o raciocínio, mas fui por tentativa mesmo. Até que, quando vi que demorou muito, desisti dele e passei para a frente. Voltei nele quase no final do tempo, e consegui completá-lo.
No primeiro item, tínhamos que encontrar uma soma que faltava. Foram dadas cinco somas, faltava uma. Encontrei-a com certa facilidade, resolvendo algumas equações. Foi um problema legal.

A terceira , se não me engano, era a do portão maldito. Nem vou descrever aqui, porque é bem complexo o desenho. Depois de um tempo pensando, passei pra próxima. Mas voltei lá, e foi uma das últimas que eu consegui fazer, e ainda assim me confundiu bastante. Tenho certeza de ter errado o item (c). O (a) e o (b), eu acho que estavam certos, mas não sei se valeria toda a pontuação. No (a), eu usei algo que só demonstraria no (b): que YBD era um ângulo reto. Ainda, fiquei em dúvida se poderia usar as propriedades óbvias de um portão de garagem, mas procurei evita-los, embora tenha caído em um ou dois.

A quarta era de um jogo, respondi com facilidade, acho que acertei todas. Só fiquei meio em dúvida sobre como justificar a (a) e a (b), já que ele só pedia para você fazer o jogo de acordo com as regras. Como justificar isso? Mas eu levo a sério a frase “Respostas sem justificativa não serão consideradas” no cabeçalho de cada página da prova, e só fiz uma introdução tipo: “De acordo com as regras do jogo, ..., blá blá blá” e desenhei as setinhas que ele sugeriu para representar os movimentos.
A (c) eu resolvi com facilidade também. Era pra mostrar que era possível completar uma jogada com 6n-8 movimentos num tabuleiro de n por n. Fui pela diagonal, dividindo o tabuleiro em espaços de 3 x 3, como nos itens (a) e (b). Provavelmente vão publicar essa solução, se não, eu mostro pra vocês depois.
Tive sorte que foi pedido para mostrar que "era 6n-8", e que não perguntava qual era esse valor, ou eu provavelmente teria me confundido.

A quinta questão era de probabilidade, algo que sempre me confunde. Acho que fui bem na (a) e na (b), embora esta última tenha me dado um pouquinho mais de trabalho para pensar.
Havia quatro bolas numa urna, uma delas preta e as outras brancas; Quatro pessoas sorteavam, em ordem alfabética de nome, uma bola, e ganhava um prêmio quem pegasse a bola preta.
Perguntava a probabilidade de o primeiro a sortear pegar a bola preta, o que era bem óbvio.
Depois, perguntou a probabilidade do último a sortear. Intuitivamente, pensei que era a mesma, mas era preciso convencer disso. Mostrei que, para a última pessoa tirar a bola preta, é suficiente que as três primeiras tenham pego brancas, e a probabilidade disso acontecer é 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/4, ou 25%.
Para os itens (c) e (d), a questão mudava o número de bolas: agora eram quatro brancas e duas pretas. Ganhava quem tirasse a primeira bola preta. Se ninguém tirasse, o sorteio continuaria na mesma ordem. Aí fazia a mesma pergunta: a probabilidade do primeiro e do último. Essa enrolou um pouquinho mais, eu tive que separar no caso em que eles pegavam a bola preta na primeira rodada, e na segunda. Mas é claro que o último não poderia pegar a primeira bola preta na segunda rodada, então, sua probabilidade foi menor dessa vez.

A última questão era de... formiguinha! Sempre caiam questões de formiguinha na primeira fase, mas, na segunda, essa foi a primeira vez que eu me lembro de ter visto. Fiz esta questão antes da quinta, porque achei mais fácil. Por um momento, pensei que fosse me confundir, mas acho que deu tudo certo.
A questão exibia um gráfico com duas linhas. Uma mostrava a distância em que a formiguinha estava de um certo ponto A, e outra, em relação a um ponto B, tudo em função do tempo.
Perguntava após quanto tempo ela estava à mesma distância de A e de B. Era só observar o gráfico. Expliquei que era o ponto de intersecção das duas linhas.
Depois, queria saber em qual espaço de tempo a formiga esta sobre o segmento AB. Fácil também.
Então, a distância de A até B. Como, no instante 0, a formiga estava a 0 espaço de B (ou seja, estava sobre B), e à distância 4 de A, B distava 4 de A! (Me lembro de não ter unidade de medida, e isso dificultou um pouco a minha redação. Será que poderia ter usado a unidade u?)
E, finalmente, perguntava a distância total do percurso. Eu separei o tempo total em dois espaços de tempo e consegui encontrar 9.

É isso aí, depois vou publicar mais posts sobre a OBMEP. Se você quiser acompanhar, saiba como, aqui.

Se você quiser discutir essas questões, ou até corrigir algo errado que eu possa ter feito, fique à vontade para usar os comentários.