Seminário sobre Pitágoras em 2010

Meus números favoritos

Quadrados Perfeitos

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600



Sequência de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578



Números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997



Múltiplos de 100 entre 1100 e 9900 que não são múltiplos de 1000

1100, 1200, 1300, 1400, 1500, 1600, 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700, 2800, 2900, 3100, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700, 3800, 3900, 4100, 4200, 4300, 4400, 4500, 4600, 4700, 4800, 4900, 5100, 5200, 5300, 5400, 5500, 5600, 5700, 5800, 5900, 6100, 6200, 6300, 6400, 6500, 6600, 6700, 6800, 6900, 7100, 7200, 7300, 7400, 7500, 7600, 7700, 7800, 7900, 8100, 8200, 8300, 8400, 8500, 8600, 8700, 8800, 8900, 9100, 9200, 9300, 9400, 9500, 9600, 9700, 9800, 9900



Múltiplos de 4

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232, 236, 240, 244, 248, 252, 256, 260, 264, 268, 272, 276, 280, 284, 288, 292, 296, 300, 304, 308, 312, 316, 320, 324, 328, 332, 336, 340, 344, 348, 352, 356, 360, 364, 368, 372, 376, 380, 384, 388, 392, 396, 400, 404, 408, 412, 416, 420, 424, 428, 432, 436, 440, 444, 448, 452, 456, 460, 464, 468, 472, 476, 480, 484, 488, 492, 496, 500, 504, 508, 512, 516, 520



Múltiplos de 9

0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360, 369, 378, 387, 396, 405, 414, 423, 432, 441, 450, 459, 468, 477, 486, 495, 504, 513, 522, 531, 540



Potências de 2

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048

Lógica de "verdadeiro" ou "falso"

A resposta de cada uma das questões seguintes pode ser "sim", "não" ou "não podemos determinar". São frases desenvolvidas com o intuito de confundir a mente e desafiar o raciocínio.


1- É verdadeiro que esta frase não pode não ser falsa se eu disser que ela não não é uma falsa frase verdadeira que não é falsa?


2- É verdade que você não vai responder que não se eu perguntar o oposto do que você faria se eu perguntasse se você não responderia "sim" se eu te perguntasse se você não responderia a esta pergunta?


3- É mentira que não podemos dizer que se somarmos 2+2 o resultado não pode não ser 4?


4- É falso dizer que o fato de você estar lendo isto não implica você não ter visto este texto antes?


5- É certo dizer que ou é falso ou é verdadeiro dizer que se dissermos que esta frase não é errada estaremos cometendo um erro?


6- Eu escrevi esta frase. É certo afirmar que a segunda afirmação deste texto é absolutamente não-falsa se eu afirmar que é verdade que este texto é todo não-verdadeiro?


7- Nada se pode afirmar sobre a não veracidade ou não desta frase. É correto afirmar que, mesmo ela sendo falsa, não é verdade dizer que ela não pode não ser verdadeira?


8- A próxima frase é falsa. Esta frase é verdadeira. A próxima frase é falsa. As frases anteriores são todas verdadeiras, menos uma. As frases anteriores são todas verdadeiras. É verdadeiro dizer que não há entre as frases anteriores duas frases falsas?


9- Há três ursos na floresta. É certo que não podemos dizer que não sabemos se não podemos afirmar que não é falso o fato de não haver mais do que quatro ursos na mesma floresta?


10- A lógica não permite que saibamos se a resposta da próxima pergunta é "sim" ou "não", uma vez que sua veracidade implica a veracidade desta frase, que jamais poderia não ser verdadeira. Isso é correto?


11- Sabendo que esta frase é verdadeira e que sua falsidade implica uma hipotética não-veracidade da próxima frase, responda à pergunta: Se a frase anterior for falsa, esta frase poderá não ser falsa?


12- A resposta deste item é sim, porém é sabido que esta frase não é correta somente se hoje for o dia 29 de fevereiro, donde podemos chegar à conclusão de que sua falsidade é impossível. Isso está certo?


13- Você sabe a resposta para esta pergunta?


Agora, confesso uma coisa: limitei-me a escrevê-las e nem tentei resolvê-las ainda!

Prova da OBMEP 2010

Sábado fiz a segunda fase da OBMEP. Não sei se fui bem. Mas acho que fui. Pelo menos só tem um item que eu tenho certeza de ter feito errado. O resto tem muita chance de estar correto. Mas isso eu vou ver quando sair o gabarito da prova. Alguns, devo ter conseguido só metade da nota.

Mas muita gente comentou que a prova estava muito fácil, e isso tira minhas chances de ficar bem colocado. Eu achei uma prova justa para o meu nível (leia-se 'minha capacidade'). Fiquei as três horas de prova fazendo. Talvez, se tivesse mais cinco minutos, conseguiria ter feito mais. Tive que pensar bastante, mas não tinha nada muito impossível para mim.

Vou colocar abaixo um resumo das questões. É claro que a minha memória pode ter se enganado em alguma coisa, nem sei como consegui lembrar de todos os itens! Anotei-os todos sábado à noite, já para não esquecer, e fiquei impressionado que lembrara de todos! Mas estou postando somente hoje porque, apesar de a OBMEP não nos pedir sigilo oficialmente (como a OBM), é sempre bom deixar passar um tempo. E, como hoje já está podendo comentar na comunidade, me vejo no direito de comentar aqui também (a coordenação da OBMEP pediu sigilo para eles só até 12/09).

Mais uma coisa: os exercícios abaixo não estão detalhadamente explicados, então, você provavelmente só os entenderá se tiver feito a segunda fase da OBMEP 2010 pelo nível 3. Se não fez, poderá ver a prova no site da OBMEP a partir da semana que vem, eu acho.
Algumas descrições, mesmo quem fez a prova corre o risco de não entender, mas poderá acompanhar com facilidade quando a prova for publicada.

Fiquei em dúvida se postaria tudo assim, num post gigante, ou se depois que eles publicassem a prova eu refaria e colocaria aqui. Ainda não sei se vou fazer isso, talvez. E é por isso também que eu deixei algumas questões muito detalhadas e outras eu só falei por cima.

E quero ressaltar, porque é bom, que, aconteça o que acontecer, não julgarei (e você também não, espero) a correção da OBMEP e a minha colocação. Eles sabem muito bem o que fazem, e eu posso ter cometido equívocos ao explicar meus métodos de resolução.
É bom deixar claro também que, por mais que eu expresse a minha opinião sobre os problemas no decorrer do texto, jamais quis criticar o Comitê de Provas. Eles são experientes e (novamente) sabem o que fazem, o meu olhar é de mero "espectador", pode-se dizer.

Ah, sim, não caiu problemas com circunferência, escalonamento, divisão de polinômios, trigonometria, logaritmo e nem função exponencial. (Veja este post)



Agora sim, finalmente, ao resumo da prova segundo a minha cabeça, e acho que esse post bate o record como o maior de todos:

Apostila de Matemática Financeira

Tipo: Apostila
Tema: Matemática financeira
Tópicos: Juros e porcentagem
Autor: Raphael Rocha

Formato: .doc

Número de páginas: 17
Ano: 2010

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A primeira surpresa do ano, na matemática

Desde 23 de setembro está no Fórum da OBMEP a seguinte discussão:

por misael_2 » 23 Set 2009, 16:53

Dada a sequência a seguir, qual é o proximo número?
64,81,100,121,144,169, ?.

Parece muito fácil e óbvio: 64 = 8², 81 = 9², e assim por diante. Como 169 = 13², o próximo termo da sequência seria 14² = 196.
Essa é a sequência mais evidente que vem à cabeça.

Até que o Florêncio, professor de matemática e moderador de fórum, propôs dentro do tópico o seguinte problema:

Clique nas imagens para ampliar.

Até então, eu não estava muito interessado pelo tópico, até que um aluno deu a dica de um site excelente para fazer cálculos (e cia) avançados.
Eu, então, escrevi no site o polinômio proposto pelo Florêncio e simplesmente fui substituindo x. Encontrei p(1) = 64 = 8², p(2) = 81 = 9², e quase nem fiz mais as contas, já que a sequência me pareceu imediata.
Mas, como na matemática não se deve chutar os resultados, e até mesmo para aprender a usar o site (e para a minha sorte), fiz! Um por um...
Até que...



Hehe, esqueci de fazer até o 7, que ele tinha pedido!

Obs: Note bem, se você não estiver familiarizado com a matemática, que eu apenas substituí o x pelos números de 1 a 6 na "conta" que o Florêncio mostrou, onte, para cada x, eu obtive:
1 => 64 = 8²
2 => 81 = 9²
3 => 100 = 10²
4 => 121 = 11²
5 => 144 = 12²
6 => 169 = 13²
x => n = (x + 7)²

Então, quando me toquei que tinha faltado o 7, voltei à calculadora e obtive o seguinte:



Tal resultado me impressionou!!


E é um dos resultados bons para mostrar para quem jura o contrário que se algo vale para uma boa parte de números, não quer dizer que vale sempre! (Lembre-se: os números são infinitos!)
Viu agora porque eu sempre prefiro fazer um por um, caso nada esteja demonstrado? XD

Só lamento que o polinômio não seja mais simples pra eu ir mostrando pros conhecidos por aí... Quem teria coragem de calculá-lo à mão?
Nem eu! =]
(Bom, é uma boa pra eu resolver quando quiser bater meu record de maior conta sem demostrar absolutamente nada genérico! )

A propósito: FELIZ 2010!! =D (Ou "Feliz p(7)... sei lá xD)

UMA HOMENAGEM DA MATEMÁTICA PARA 2010

Elementos de Aritmética

Começamos sábado no PIC a trabalhar com este livro: Elementos de Aritmética, de A. Hefez.

Ainda não terminamos o Introdução à Análise Combinatória, mas vamos continuar com ele, acho que até o final... Ainda bem, porque eu ainda estava no capítulo 2!! Tinha me confundido bastante (contagem sempre me confunde!), mas durante os 95 exercícios do capítulo 2 (que eu ainda não terminei), eu consegui adquirir mais prática! ;) E estou gostando bastante!
Claro, este segundo livro, assim como o primeiro, é voltado a alunos de graduação e professores de matemática, e pode ser lido em um semestre se algumas seções forem omitidas, além de apresentar textos universitários. ¬¬

Esse livro de Aritmética, no capítulo 1, vai aos primórdios da Matemática! =)
Ele demostra porque qualquer número natural multiplicado por zero resulta em zero, entre outras coisas que achamos tão óbvio e às vezes dispensamos demonstrações.
A propósito, os exercícios dele são difíceis de pensar justamente por isso: são coisas que já estamos muito habituados! Fiquei pensando: "Como provar que se 'a é menor do que b' então 'a é menor ou igual a b'? Precisa demostrar isso??"
Hahahaha! Mas se ler o capítulo, dá pra ter umas boas ideias...

"Dizia eu que a aritmética..."
Prof. Girafales sobre post acima.

Capítulo 1 do IAC encerrado!

Hoje terminei o capítulo 1 do livro Introdução à Análise Combinatória.

Apesar de eu não ter conseguido fazer alguns exercícios, vou dar o capítulo como encerrado por enquanto, tenho que terminar pelo menos o 2 até sábado... e olha que bacana: eu acabei de descobrir que o capítulo 2 tem 95 exercícios! xD

E, quanto às dúvidas do capítulo 1, depois eu posto no Fórum ou pergunto ao meu professor pessoalmente. Já postei dois deles no fórum: (clique nas imagens para ampliar)



E recebi as respostas de uma pessoa. A primeira eu entendi:



Já a segunda, ele não conseguiu terminar...




O capítulo 2 é sobre contagem, "Princípios aditivo e multiplicativo". Estou adorando, já que eu quero muito aprender a contar! XD Haha, sério, é bacana saber calcular probabilidades, combinações e etc... E isso sempre me confunde, espero que possa aprender definitivamente!
Já tinha estudado antes no PIC... mas sempre me confunde! XD

A propósito, sabe de quantas formas diferentes 7 pessoas podem escolher 1 sabor de sorvete cada numa sorveteria que tem 20 sabores?? 1.280.000.000 !

Princípio da Indução

O Princípio da Indução Matemática não é incrível?? =D

"Se P é verdadeira para 1, e P verdadeira para n implica em P verdadeira para n+1, P é verdadeira para qualquer número inteiro positivo"!

Haha, magnífico!
Estou estudando isso no livro "Introdução à Análise Combinatória", que me parece ser muito bom, e não tão difícil quanto parece.

Introdução à análise combinatória

No PIC começamos a ler esse livro.

Achei bacana o conteúdo, até agora entendi tudo. Parece que finalmente vou entender quase tudo sobre contagem e indução.

Mas achei o máximo quando abri na introdução e li:
"São dois os principais objetivos deste livro: (1) fornecer um texto para alunos de graduação e (2) servir de fonte de exercícios aos professores do segundo grau."

Uau!

Também achei interessante eles citarem que eles acreditam que todo o material apresentado pode ser visto no período de um semestre. Haha, me deram 1 mês no PIC! Talvez 2, eu acho ;-)

Mas não é tão difícil quanto parece... pelo menos por enquanto.. X)

< atualização 09/11/2009 17:01 >
- Terminei o capítulo 1 do livro IAC

Pérola do professor de matemática

Aconteceu faz teeeempo!!! XD

O professor tinha desenhado um triângulo no quadro, cheio de medidas, linhas, etc..
Aí, eu fui lá perto e fiquei parado olhando para ver o que ele fazia, e uma colega também foi, ambos pra encher o saco..

Fiz até uma imagem:

Aí, pra encher o saco do professor, disse para ela, apontando a parte que está circulada de azul:
"-Sabia que isso aqui tem 180º??"
E ela, entrando no espírito, sem perceber o erro, disse, mostrando a área do círculo verde:
"-Sabia que isso aqui sá 360º?"
Aí eu olhei e..
"-Kkkkkkkkkkkkkkkkk!!"
Ela percebeu o erro e começou a rir, o prof também e consertou, logo toda a sala estava morrendo de rir!! XD


Eu, inspirado por isso, fiz um triângulo com medidas interessantes:



=D